वक्र y=y(x) पर किसी भी बिंदु (x, y), x 0, y | vedclass

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Question

(D) अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{xy - x^2y^2 - 1}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy = -xy dx + x^2y^2 dx + dx$ प्राप्त होता है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1+	an(1)}{1-	an(1)}$

Vedclass · Answer

(D) अभिलंब की ढाल $-\frac{dx}{dy} = \frac{x^2}{xy - x^2y^2 - 1}$ है।पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 dy = -xy dx + x^2y^2 dx + dx$ प्राप्त होता है।$x^2 dy + xy dx = (x^2y^2 + 1) dx$.$x(x dy + y dx) = (x^2y^2 + 1) dx$.$x d(xy) = (1 + (xy)^2) dx$.दोनों पक्षों को $x(1 + (xy)^2)$ से विभाजित करने पर,$\frac{d(xy)}{1 + (xy)^2} = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$	an^{-1}(xy) = \ln(x) + C$ प्राप्त होता है।चूंकि वक्र बिंदु $(1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $	an^{-1}(1) = \ln(1) + C$,जिससे $C = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।अतः,$	an^{-1}(xy) = \ln(x) + \frac{\pi}{4}$।दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$xy = 	an\left(\ln(x) + \frac{\pi}{4}ight) = \frac{1 + 	an(\ln x)}{1 - 	an(\ln x)}$।$x = e$ के लिए,$e \cdot y(e) = \frac{1 + 	an(1)}{1 - 	an(1)}$।

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